Исбот кунед, ки \(\sqrt{(a+c)(b+d)}\geq\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\),

агар \(a\geq0\), \(b\geq0\), \(c\geq0\) ва

\(d\geq0\) бошад.

\((x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n)^2\leq\)

\(\leq(x_1^2+x_2^2+...x_n^2)(y_1^2+y_2^2+...+y_n^2)\)

\((\sqrt{ab}+\sqrt{cd})^2\leq\)

\(\leq((\sqrt{a})^2+(\sqrt{c})^2)((\sqrt{b})^2+(\sqrt{d})^2)=(a+c)(b+d)\)

Яъне

\((a+c)(b+d)\geq(\sqrt{ab}+\sqrt{cd})^2\)

\(\sqrt{(a+c)(b+d)}\geq\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\)

Исбот шуд.